Mathematische Textaufgaben lösen

Anleitung © von André Mössner  Dipl. Math. ETH , Kantonsschule Zug (Gymnasium), Schweiz
  

Beispiel 1b

( Standard-Aufgabe )

In einem Stall leben Hühner und Kaninchen. Alfred zählt 171 Köpfe und 498 Beine.
Wie viele Hühner und wie viele Kaninchen wohnen in diesem Stall?

  

Zugegeben:
Die Aufgabe ist nicht besonders originell. Ihr Lösungsweg ist jedoch sehr lehrreich!

Diese Aufgabe lässt sich auch ohne mein Schema elegant lösen. Die "elegante" Lösung funktioniert allerdings nur bei diesem Typ von Aufgabe. Mit meinem Grundschema hingegen lässt sich jede Aufgabe lösen.

A)    Lösungsweg mit dem Grundschema
B)    Lösungsweg mit dem Grundschema mit einem Gleichungssystem
C)    Elegante Lösung ohne das Grundschema

  

Lösungsweg mit den sechs Schritten des Grundschemas:     
Schritt 1   Aufgabe verstehen
Lies den Aufgabentext mehrmals sorgfältig durch!
Jedes Tier hat einen Kopf. Jedes Huhn hat zwei Beine, jedes Kaninchen hat vier Beine.
Schritt 2 Wahl der Unbekannten
Spontane Antwort vieler Lernender:   x = Hühner.
Dieser Vorschlag ist falsch: Mit Hühnern kann niemand rechnen. Rechnen kann man immer nur mit Zahlen. Die Unbekannte muss deshalb eine Zahl repräsentieren.
Gemeint war damit natürlich das Nachstehende; in der Mathematik wollen und sollen wir jedoch exakt arbeiten – dazu gehört auch das Formulieren. Und: Viele Menschen kommen danach mit der Aufgabe nicht weiter: Da es ihnen nicht gelingt, mit Hühnern zu rechnen, geben sie das Lösen der Aufgabe auf.

Besserer und korrekter Vorschlag für die Wahl der Unbekannten:
Es sind x Hühner.
Mit anderen Worten:   x = Anzahl der Hühner
Daraus folgt:   171 - x = Anzahl Kaninchen
(Damit ist die gegebene Information "Anzahl Köpfe" bereits verwendet)
Schritt 3 Aufstellen der Gleichung
(Es ist bloss noch die Information "Anzahl Beine" übrig)
Titel der Gleichung: "Anzahl Beine der Tiere = Anzahl Beine der Hühner + Anzahl Beine der Kaninchen"
Oder Sparvariante des Titels: "Anzahl Beine Total = 498"
Gleichung selbst:      498 = 2*x + 4*(171-x)
Schritt 4 Lösen der Gleichung
Die Lösung der Gleichung lautet x = 93
Schritt 5 Prüfen der Lösung
Somit sind es 171 - 93 = 78 Kaninchen.
Wir "zählen" nochmals die Anzahl der Beine:
Die Kaninchen haben je vier Beine, total haben sie 78*4 = 312 Beine.
Die Hühner haben je zwei Beine, total haben sie 93*2 = 186 Beine.
Zusammen ergibt das für alle Tiere 312 + 186 = 498 Beine.
Schritt 6 Antwort
Im Stall wohnen 93 Hühner und 78 Kaninchen.

  

Lösungsweg mit den sechs Schritten des Grundschemas mit einem Gleichungssystem:     
Schritt 1   Aufgabe verstehen
Lies den Aufgabentext mehrmals sorgfältig durch!
Jedes Tier hat einen Kopf. Jedes Huhn hat zwei Beine, jedes Kaninchen hat vier Beine.
Schritt 2 Wahl der Unbekannten
Es sind x Hühner und y Kaninchen.
Mit anderen Worten:   x = Anzahl der Hühner   und     y = Anzahl der Kaninchen
Schritt 3 Aufstellen der Gleichung
Titel der ersten Gleichung: "Anzahl Beine der Tiere = Anzahl Beine der Hühner + Anzahl Beine der Kaninchen"
Oder Sparvariante dieses Titels: "Anzahl Beine Total = 498"
Titel der zweiten Gleichung: "Anzahl Köpfe = Anzahl Hühner + Anzahl Kaninchen"
1. Gleichung:      498 = 2*x + 4*y
2. Gleichung:      171 = x + y
Schritt 4 Lösen des Gleichungssystems
Die Lösung des Systems lautet x = 93 und y = 78
Schritt 5 Prüfen der Lösung
Total sind es x + y = 93 + 78 = 171 Tiere bzw. Köpfe.
Wir "zählen" nochmals die Anzahl der Beine:
Die Kaninchen haben je vier Beine, total haben sie 78*4 = 312 Beine.
Die Hühner haben je zwei Beine, total haben sie 93*2 = 186 Beine.
Zusammen ergibt das für alle Tiere 312 + 186 = 498 Beine.
Schritt 6 Antwort
Im Stall wohnen 93 Hühner und 78 Kaninchen.

  

Eleganter Lösungsweg ohne das Grundschema:     

Wegen der Anzahl der Köpfe sind es total 171 Tiere. Wir "geben" vorerst einmal jedem Tier zwei Beine; dazu sind 2*171 = 342 Beine nötig (damit sind die Hühner fertig ausgestattet, den Kaninchen fehlen je noch zwei Beine). Jetzt sind 498 - 342 = 156 Beine übrig. Jedes Kaninchen bekommt zwei davon. Deshalb sind es 156/2 = 78 Kaninchen. Die Differenz ergibt 171 - 78 = 93 Hühner.

Nochmals:
Dieser zweite Lösungsweg war sehr kurz und ist leicht zu verstehen. Er ist auch völlig korrekt.
Weil sich jedoch nur die wenigsten Textaufgaben auf diese Art lösen lassen, lohnt es sich, die Aufgabe zu Übungszwecken auch mit dem Schema zu lösen, denn mit dem Grundschema lässt sich jede Textaufgabe lösen!

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Letzte Änderung: 20.05.2016