Mathematische Textaufgaben lösen

Anleitung © von André Mössner  Dipl. Math. ETH , Kantonsschule Zug (Gymnasium), Schweiz
  

      
      

Beispiel 4

( Weg, Zeit, Geschwindigkeit )

Läufer A benötigt für eine 25 km lange Strecke 30 Minuten mehr, als Läufer B für 15 km braucht. Die Geschwindigkeit von A ist um 2.5 km/h grösser als die von B.
Berechne die Laufzeit von A.

Lösungsweg nach den sechs Schritten des Grundschemas auf drei verschiedene Varianten:
(Es sind deshalb drei Varianten möglich, weil die benötigte Formel drei Grössen enthält)

Schritt 1   Aufgabe verstehen
Lies den Aufgabentext mehrmals sorgfältig durch!
Unter anderem fällt auf, dass wir mit der Einheit der Zeit sorgfältig umgehen müssen, da im Aufgabentext sowohl Stunden als auch Minuten vorkommen.
Als Zusammenhang kennen wir für gleichmässig bewegte Körper die Formel
a) "Geschwindigkeit = Weg / Zeit" [ -> Variante a) ].
Gleichwertig dazu sind die Formeln
b) "Zeit = Weg / Geschwindigkeit" [ -> Variante b) ] und
c) "Weg = Zeit * Geschwindigkeit" [ -> Variante c) ].

  

Variante a)
letzte Variante
Schritt 1   Aufgabe verstehen
Lies den Aufgabentext mehrmals sorgfältig durch!
Unter anderem fällt auf, dass wir mit der Einheit der Zeit sorgfältig umgehen müssen, da im Aufgabentext sowohl Stunden als auch Minuten vorkommen.
Als Zusammenhang kennen wir für gleichmässig bewegte Körper die Formel    "Geschwindigkeit = Weg / Zeit".
Schritt 2 Wahl der Unbekannten
t = benötigte Zeit von A in Stunden für seine 25 km
Schritt 3 Aufstellen der Gleichung
Titel der Gleichung: "Geschwindigkeit von A = Geschwindigkeit von B + 2.5 in km/h"
Gleichung:      25 / t = 15 / (t - 0.5) + 2.5
Schritt 4 Lösen der Gleichung
Lösungen der Gleichung: t1 = 2 oder t2 = 2.5
Schritt 5 Prüfen der Lösungen
Bei Lösung 1 benötigt A 2 Stunden mit 12.5 km/h, B braucht 1.5 Stunden bei 10 km/h
Bei Lösung 2 benötigt A 2.5 Stunden mit 10 km/h, B braucht 2 Stunden bei 7.5 km/h
Offensichtlich sind beide Lösungen richtig.
Schritt 6 Antwort
Lösung 1:   A benötigt 2 Stunden mit 12.5 km/h, B braucht 1.5 Stunden bei 10 km/h
Lösung 2:   A benötigt 2.5 Stunden mit 10 km/h, B braucht 2 Stunden bei 7.5 km/h

  

Variante b)
Schritt 1   Aufgabe verstehen
Lies den Aufgabentext mehrmals sorgfältig durch!
Unter anderem fällt auf, dass wir mit der Einheit der Zeit sorgfältig umgehen müssen, da im Aufgabentext sowohl Stunden als auch Minuten vorkommen.
Als Zusammenhang kennen wir für gleichmässig bewegte Körper die Formel    "Zeit = Weg / Geschwindigkeit".
Schritt 2 Wahl der Unbekannten
v = Geschwindigkeit von A in km/h
Schritt 3 Aufstellen der Gleichung
Titel der Gleichung: "Zeit von A = Zeit von B + 0.5 in Stunden"
Gleichung:      25 / v = 15 / (v - 2.5) + 0.5
Schritt 4 Lösen der Gleichung
Lösungen der Gleichung: v1 = 12.5 oder v2 = 10
Schritt 5 Prüfen der Lösungen
Vorsicht: v ist nicht die gesuchte Lösung! Wir müssen daraus noch die Zeit berechnen:
Zeit von A = 25 / v
Also ist t1 = 25 / v1 = 2 oder t1 = 25 / v2 = 2.5
Schritt 6 Antwort
Lösung 1:   A benötigt 2 Stunden mit 12.5 km/h, B braucht 1.5 Stunden bei 10 km/h
Lösung 2:   A benötigt 2.5 Stunden mit 10 km/h, B braucht 2 Stunden bei 7.5 km/h

  

Variante c)
nächste Variante
Schritt 1   Aufgabe verstehen
Lies den Aufgabentext mehrmals sorgfältig durch!
Unter anderem fällt auf, dass wir mit der Einheit der Zeit sorgfältig umgehen müssen, da im Aufgabentext sowohl Stunden als auch Minuten vorkommen.
Als Zusammenhang kennen wir für gleichmässig bewegte Körper die Formel    "Weg = Zeit * Geschwindigkeit".
Schritt 2 Wahl der Unbekannten
v = Geschwindigkeit von B in km/h
t = Zeit von B für 15 km in h
Schritt 3 Aufstellen der Gleichungen
  Titel der Gleichung   Gleichung
  Wegstrecke von A in km =     25 = (t + 0.5) * (v + 2.5)  
  Wegstrecke von B in km =     15 = t * v
Schritt 4 Lösen des Gleichungssystems
Wir haben somit ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten erhalten: Ein Gleichungssystem.
Wie man ein Gleichungssystem löst, ist hier nicht das Thema. Falls du einen Algebrarechner hast, kannst du den Solver verwenden.
Lösungen des Gleichungssystems:     [ t1 = 2 und v1 = 7.5 ]     oder    [ t2 = 1.5 und v2 = 10 ]
Schritt 5 Prüfen der Lösungen
Kontrolle der Lösungen wie oben …
Schritt 6 Antwort
Lösung 1:   A benötigt 2 Stunden mit 12.5 km/h, B braucht 1.5 Stunden bei 10 km/h
Lösung 2:   A benötigt 2.5 Stunden mit 10 km/h, B braucht 2 Stunden bei 7.5 km/h
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Letzte Änderung: 20.05.2016