Mathematische Textaufgaben lösen

Anleitung © von André Mössner  Dipl. Math. ETH , Kantonsschule Zug (Gymnasium), Schweiz
  

      
      

Beispiel 6

( Volumen, Masse, Dichte, Prozent )

Zwei Metallstücke haben die Massen 6 kg und 7.2 kg. Das Volumen des zweiten Stückes beträgt 90% des Volumens des ersten. Die beiden Dichten unterscheiden sich um 2.5 g/cm3.
Berechne das Volumen des ersten Stückes.

Lösungsweg nach den sechs Schritten des Grundschemas mit drei verschiedenen Varianten:

Schritt 1   Aufgabe verstehen
Lies den Aufgabentext mehrmals sorgfältig durch!
Das erste Stück ist leichter und grösser als das zweite. Deshalb hat das zweite Stück die grössere Dichte!
Formel: Dichte = Masse / Volumen     -->      Volumen = Masse / Dichte
Oft ist eine grafische Veranschaulichung hilfreich:

Wir lösen die Aufgabe auf folgende drei Varianten:
Variante a)    Vergleich der Volumina    (Volumen = Masse / Dichte)
Variante b)    Vergleich der Dichten    (Dichte = Masse / Volumen)
Variante c)    Gleichungssystem mit den Massen    (Masse = Volumen * Dichte)

  

Variante a)
letzte Variante
Vergleich der Volumina    (Volumen = Masse / Dichte)
Schritt 2 Wahl der Unbekannten
d = Dichte des ersten Stücks in Gramm pro Kubikzentimeter
Schritt 3 Aufstellen der Gleichung
Titel der Gleichung: "Volumen des zweiten Körpers (in g/cm3) ="
Gleichung:      7200 / (d + 2.5) = 0.9 * 6000 / d
Schritt 4 Lösen der Gleichung
Lösung der Gleichung: d = 7.5
Schritt 5 Prüfen der Lösungen
Wenn wir die gestellte Aufgabe nochmals durchlesen, erkennen wir, dass die gefundene Dichte noch nicht die gesuchte Grösse ist. Gesucht ist nämlich das Volumen V des ersten Stücks: V = 6000 / 7.5 = 800
Schritt 6 Antwort
Das erste Stück hat ein Volumen von 800 cm3

  

Variante b)
Vergleich der Dichten    (Dichte = Masse / Volumen)
Schritt 2 Wahl der Unbekannten
V = Volumen des ersten Stücks in cm3
Schritt 3 Aufstellen der Gleichung
Titel der Gleichung: "Dichte des 2. Stücks = Dichte des 1. Stücks + 2.5 g/cm3 ="
Gleichung:      7200 / (0.9 * V) = 6000 / V + 2.5
Schritt 4 Lösen der Gleichung
Lösung der Gleichung: V = 800
Schritt 5 Prüfen der Lösungen
In diesem Fall ist das Volumen des 2. Stücks = V2 = 0.9 * 800 = 720 cm3
Dichte des 1. Stücks = 6000 / 800 = 7.5
Dichte des 2. Stücks = 7200 / 720 = 10 ( = 7.5 + 2.5) : stimmt!
Schritt 6 Antwort
Das erste Stück hat ein Volumen von 800 cm3

  

Variante c)
nächste Variante
Gleichungssystem mit den Massen    (Masse = Volumen * Dichte)
Schritt 2 Wahl der Unbekannten
V = Volumen des ersten Stücks in cm3
d = Dichte des 1. Stücks in g/cm3
Schritt 3 Aufstellen der Gleichungen
  Titel der Gleichung   Gleichung
  Masse des 1. Stücks in g =     6000 = V * d  
  Masse des 2. Stücks in g =     7200 = (0.9 * V) * (d + 2.5)  
Schritt 4 Lösen des Gleichungssystems
Wir haben somit ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten erhalten: Ein Gleichungssystem.
Wie man ein Gleichungssystem löst, ist hier nicht das Thema. Falls du einen Algebrarechner hast, kannst du den Solver verwenden.
Lösung des Gleichungssystems:    V = 800 und d = 7.5
Schritt 5 Prüfen der Lösungen
Kontrolle durch Nachrechnen …
Schritt 6 Antwort
Das erste Stück hat ein Volumen von 800 cm3
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Letzte Änderung: 20.05.2016