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Beispiel 6
( Volumen, Masse, Dichte, Prozent )
Zwei Metallstücke haben die Massen 6 kg und 7.2 kg. Das Volumen des zweiten Stückes beträgt 90% des Volumens des ersten. Die beiden Dichten unterscheiden sich um 2.5 g/cm3.
Berechne das Volumen des ersten Stückes.
Lösungsweg nach den sechs Schritten des Grundschemas mit drei verschiedenen Varianten:
| Schritt 1 |
Aufgabe verstehen
Lies den Aufgabentext mehrmals sorgfältig durch!
Das erste Stück ist leichter und grösser als das zweite. Deshalb hat das zweite Stück die grössere Dichte!
Formel: Dichte = Masse / Volumen --> Volumen = Masse / Dichte
Oft ist eine grafische Veranschaulichung hilfreich:
Wir lösen die Aufgabe auf folgende drei Varianten:
Variante a) Vergleich der Volumina (Volumen = Masse / Dichte)
Variante b) Vergleich der Dichten (Dichte = Masse / Volumen)
Variante c) Gleichungssystem mit den Massen (Masse = Volumen * Dichte)
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| Variante a) |
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letzte Variante
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| Vergleich der Volumina (Volumen = Masse / Dichte) |
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| Schritt 2 |
Wahl der Unbekannten
d = Dichte des ersten Stücks in Gramm pro Kubikzentimeter |
| Schritt 3 |
Aufstellen der Gleichung
Titel der Gleichung: "Volumen des zweiten Körpers (in g/cm3) ="
Gleichung: 7200 / (d + 2.5) = 0.9 * 6000 / d |
| Schritt 4 |
Lösen der Gleichung
Lösung der Gleichung: d = 7.5 |
| Schritt 5 |
Prüfen der Lösungen
Wenn wir die gestellte Aufgabe nochmals durchlesen, erkennen wir, dass die gefundene Dichte noch nicht die gesuchte Grösse ist. Gesucht ist nämlich das Volumen V des ersten Stücks: V = 6000 / 7.5 = 800 |
| Schritt 6 |
Antwort
Das erste Stück hat ein Volumen von 800 cm3 |
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| Vergleich der Dichten (Dichte = Masse / Volumen) |
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| Schritt 2 |
Wahl der Unbekannten
V = Volumen des ersten Stücks in cm3 |
| Schritt 3 |
Aufstellen der Gleichung
Titel der Gleichung: "Dichte des 2. Stücks = Dichte des 1. Stücks + 2.5 g/cm3 ="
Gleichung: 7200 / (0.9 * V) = 6000 / V + 2.5 |
| Schritt 4 |
Lösen der Gleichung
Lösung der Gleichung: V = 800 |
| Schritt 5 |
Prüfen der Lösungen
In diesem Fall ist das Volumen des 2. Stücks = V2 = 0.9 * 800 = 720 cm3
Dichte des 1. Stücks = 6000 / 800 = 7.5
Dichte des 2. Stücks = 7200 / 720 = 10 ( = 7.5 + 2.5) : stimmt! |
| Schritt 6 |
Antwort
Das erste Stück hat ein Volumen von 800 cm3 |
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| Variante c) |
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nächste Variante
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| Gleichungssystem mit den Massen (Masse = Volumen * Dichte) |
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| Schritt 2 |
Wahl der Unbekannten
V = Volumen des ersten Stücks in cm3
d = Dichte des 1. Stücks in g/cm3 |
| Schritt 3 |
Aufstellen der Gleichungen
| Titel der Gleichung |
Gleichung |
| Masse des 1. Stücks in g = |
6000 = V * d |
| Masse des 2. Stücks in g = |
7200 = (0.9 * V) * (d + 2.5) |
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| Schritt 4 |
Lösen des Gleichungssystems
Wir haben somit ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten erhalten: Ein Gleichungssystem.
Wie man ein Gleichungssystem löst, ist hier nicht das Thema. Falls du einen Algebrarechner hast, kannst du den Solver verwenden.
Lösung des Gleichungssystems: V = 800 und d = 7.5 |
| Schritt 5 |
Prüfen der Lösungen
Kontrolle durch Nachrechnen … |
| Schritt 6 |
Antwort
Das erste Stück hat ein Volumen von 800 cm3 |
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